Séminaire des Doctorants et Doctorantes - Institut Camille Jordan - ICJ - Villeurbanne - Sud-Est - Unité de mathématiques pures et appliquées - UMPA/ENSL - Lyon - Sud-Est

Institut Camille Jordan - ICJ - Villeurbanne - Sud-Est Unité de mathématiques pures et appliquées - UMPA/ENSL - Lyon - Sud-Est

Structure de Frobenius forte et séries transcendantes

Speaker: M. Vargas-Montoya, Daniel ()
Title: Structure de Frobenius forte et séries transcendantes
Abstract: <pre> <!--StartFragment-->Pour certaines séries de puissances $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n\in\mathbb{Q}[[z]]$ on a la situation suivante: il existe un ensemble $\mathcal{S}$ infini de nombres premiers tel que: - Pour tout $p\in\mathcal{S}$, $f\in\mathbb{Z}_{(p)}[[z]]$, c'est-à- dire $p$ ne divise pas les dénominateurs des $a_n$. - Pour tout $p\in\mathcal{S}$, la réduction de $f$ modulo $p$, $f_{\mid p}$, est alébrique sur $\mathbb{F}_{p}(z)$ où $\mathbb{F}_{p}$ est le corps à $p$ éléments. &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp; Par exemple, les travaux de Funstenberg et Deligne montrent que ce cas se présente pour les séries&nbsp; qui sont obtenues à partir des coefficients diagonaux de fractions rationnelles à plusieurs variables. &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; Dans cet exposé, je vous propose d'expliquer pourquoi cette situation arrive. A cet effet, on introduira une action de type Frobenius sur les solutions des équations différentielles à coefficients dans $\mathbb{Q}(z)$, qui est connue comme la structure de Frobenius forte. &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; Par exemple, les équations hypergéométriques (à définir pendant l'exposé) sont munies d'une structure de Frobenius forte. Ensuite, on se concentrera sur les séries de puissances $f(z)$ telles que pour tout $p\in\mathcal{S}$, f_{\mid p}=a(z)f_{\mid p}(z^{p})\mod{p\mathbb{Z}_{(p)}[[z]]}, où $a(z)\in\mathbb{F}_{p}[z]$ et dont le degré est inférieur ou égal à $Cp$, avec $C\in\mathbb{R}$ une constante indépendante de $p$. &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; Finalement on verra comment la structure de Frobenius forte nous permet de montrer que la série de puissances $_{2}F_{1}(1/2,1/2,2/3,z)=\sum_{j\geq0}\frac{(1/2)_{j}^2}{(2/3)_jj!}z^j$ où $(x)_j=x(x+1)\cdots(x+j-1)$ pour $x\in\mathbb{R}$, satisfait une équation de la forme \eqref{alg} pour une ensemble infini de nombres premiers et comment à partir de cela, on en déduit que $_{2}F_{1}(1/2,1/2,2/3,z)$ est transcendante sur $\mathbb{Q}(z)$.<!--EndFragment--></pre>

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