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October 2020

Agenda des Mathématiques

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Séminaire des Doctorants et Doctorantes - Institut Camille Jordan - ICJ - Villeurbanne - Sud-Est - Unité de mathématiques pures et appliquées - UMPA/ENSL - Lyon - Sud-Est

Institut Camille Jordan - ICJ - Villeurbanne - Sud-Est Unité de mathématiques pures et appliquées - UMPA/ENSL - Lyon - Sud-Est

Combinatoire des polynômes de $(q,y)$-Laguerre


Start: Dec. 17, 2018, 10:30 a.m.
End: Dec. 17, 2018, 11:30 a.m.

Speaker: Pan, Qiong Qiong ()
Title: Combinatoire des polynômes de $(q,y)$-Laguerre
Abstract: <pre> <!--StartFragment-->Les polyn\^omes unitaires de Laguerre $L_n^{(\alpha)}(x)$ sont definis par la fonction g\'en\'eratrice</pre> <pre> \begin{align*}</pre> <pre> (1+t)^{-\alpha-1}\exp\left(\frac{xt}{t+1}\right)=\sum_{n=0}^\infty L^{(\alpha)}_n(x) \frac{t^n}{n!}</pre> <pre> \end{align*}</pre> <pre> et satisfont la relation de r\'ecurrence \`a trois termes</pre> <pre> \begin{align*}</pre> <pre> L^{(\alpha)}_{n+1}(x)=(x-(2n+\alpha+1))L^{(\alpha)}_n(x)-n(n+\alpha)L^{(\alpha)}_{n-1}(x).</pre> <pre> \end{align*}</pre> <pre> En 1984, Foata et Strehl ont donn\'e une interpr\'etation combinatoire pour les polyn\^omes de Laguerre en construisant un mod\`ele qui s'appelle la configuration de Laguerre. Rappelons-nous qu'une configuration de Laguerre sur $[n]:=\{1,\cdots,n\}$ est un couple $(A,f)$, o\`u $A\subset [n]$ et $f$ est une injection </pre> <pre> de $A$ \`a $[n]$. Dans cet expos\'e, nous nous concentrerons sur des polyn\^omes plus g\'en\'eraux, c'est-\`a-dire les polyn\^omes de $(q,y)$-Laguerre $L_n^{(\alpha)}(x;y;q)$, qui sont</pre> <pre> definis par la relation de r\'ecurrence</pre> <pre> \begin{align*}</pre> <pre> L^{(\alpha)}_{n+1}(x;y;q)&amp;=\left(x-(y[n+\alpha+1]_q+[n]_q)\right)L^{(\alpha)}_n(x;y;\,q)\\</pre> <pre> &amp;\hspace{1.5cm}-y[n]_q[n+\alpha]_q\,L^{(\alpha)}_{n-1}(x;y;\,q)</pre> <pre> \qquad (\alpha\geq -1, \; n\geq 1)\nonumber,</pre> <pre> \end{align*}</pre> <pre> o\`u $L^{(\alpha)}_{0}(x;y;q)=1$, $L^{(\alpha)}_{-1}(x;y;q)=0$.</pre> <pre> Nous donnerons aussi une interpr\'etation combinatoire pour les coefficients des polyn\^omes de $(q,y)$-Laguerre.<!--EndFragment--></pre>
Loc. ENS
Cat. Séminaires

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